Un nombre premier congru à 1 modulo 4 est somme de deux carrés

Soit $p$ un nombre premier congru à $1$ modulo $4$. On admet le théorème de Wilson : $(p-1)! \equiv -1$ modulo $p$.

1. Montrer que l'entier $a = \left(\dfrac{p-1}{2}\right)!$ vérifie $a^2 \equiv -1$ modulo $p$.
2. On considère les entiers $x - a y$, où $x$ et $y$ parcourent les entiers de $0$ à $\lfloor \sqrt{p} \rfloor$. Montrer que deux d'entre eux, associés à des couples $(x, y)$ distincts, sont congrus modulo $p$.
3. En déduire qu'il existe des entiers $u$ et $v$ tels que $p = u^2 + v^2$.
4. Un nombre premier congru à $3$ modulo $4$ peut-il être somme de deux carrés ?