Les nombres de Fermat sont premiers entre eux deux à deux

Énoncé

Pour $n \in \N$ , on pose $F_n = 2^{2^n} + 1$ .

Montrer que, pour tout $n \geq 1$ , $F_n - 2 = F_0 F_1 \cdots F_{n-1}$ .
En déduire que, pour $m \neq n$ , les entiers $F_m$ et $F_n$ sont premiers entre eux.
Retrouver ainsi qu'il existe une infinité de nombres premiers.

Indication 1

Pour 1, raisonner par récurrence à l'aide de $F_n - 2 = (F_{n-1} - 2)\, F_{n-1}$ .

Indication 2

Pour 2, un diviseur commun de $F_m$ et $F_n$ , avec $m < n$ , divise $2$ ; or les $F_n$ sont impairs.

Indication 3

Pour 3, choisir un diviseur premier de chaque $F_n$ .

Connecte-toi pour envoyer ta copie en photos : trois membres la reliront.

Nombre de zéros à la fin de $100!$ (formule de Legendre)ArithmétiqueNiveaux : L1, MPSI, MP2I, PCSI, PTSI.2/5NouveauNouveau
Équation diophantienne $21x + 15y = 6$ ArithmétiqueNiveaux : L1, MPSI, MP2I.1/5NouveauNouveau
PGCD de 120 et 84 par l'algorithme d'Euclide, et relation de BézoutArithmétiqueNiveaux : L1, MPSI, MP2I.1/5NouveauNouveau
Nombre de diviseurs positifs de 144ArithmétiqueNiveaux : L1, MPSI, MP2I.1/5NouveauNouveau
Les sous-groupes de $\Z$ sont les $n\Z$ Algèbre, ArithmétiqueNiveaux : L1, L2, MPSI, MP2I.2/5NouveauNouveau
$n^{13} - n$ est divisible par 2730ArithmétiqueNiveaux : L1, L2, MPSI, MP2I, MP.2/5NouveauNouveau