Nombre de zéros à la fin de $100!$ (formule de Legendre)

Énoncé

Soit $p$ un nombre premier et $n \geq 1$ un entier. Montrer que l'exposant de $p$ dans la décomposition de $n!$ en facteurs premiers est $\displaystyle\sum_{k \geq 1} \left\lfloor \dfrac{n}{p^k} \right\rfloor$ .
Par combien de zéros se termine l'écriture décimale de $100!$ ?

Indication 1

Pour 1, compter, pour chaque $k \geq 1$ , les entiers de $1$ à $n$ divisibles par $p^k$ .

Indication 2

Pour 2, le nombre de zéros est le plus grand $m$ tel que $10^m$ divise $100!$ : c'est le plus petit des exposants de $2$ et de $5$ .

Indication 3

L'exposant de $5$ est le plus petit des deux.

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