Distance entre deux droites non coplanaires de l'espace

L1 MPSI MP2I PCSI PTSIdifficulté 2/5Géométrie · Géométrie du plan et de l'espacepar XiMathspas encore de copie envoyée▲ Utile · 0

Énoncé

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère la droite $D_1$ passant par $A(1, 0, 0)$ et dirigée par $\vec{u} = (1, 1, 0)$ , et la droite $D_2$ passant par $B(0, 1, 1)$ et dirigée par $\vec{v} = (0, 1, 1)$ .

Montrer que $D_1$ et $D_2$ ne sont pas coplanaires.
Déterminer les points $H_1 \in D_1$ et $H_2 \in D_2$ tels que la droite $(H_1 H_2)$ soit perpendiculaire à $D_1$ et à $D_2$ .
En déduire la distance entre $D_1$ et $D_2$ .

Indications

Indication 1

Pour 1, calculer le déterminant de $(\overrightarrow{AB}, \vec{u}, \vec{v})$ .

Indication 2

Pour 2, écrire $H_1 = A + s\vec{u}$ et $H_2 = B + t\vec{v}$ , puis traduire les deux orthogonalités : on obtient un système en $s$ et $t$ .

Indication 3

Pour 3, la distance entre les deux droites est la longueur $H_1 H_2$ ; on peut la contrôler avec $\dfrac{|\det(\overrightarrow{AB}, \vec{u}, \vec{v})|}{\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|}$ .

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