Similitude directe $z \mapsto (1+i)z + 2 - i$ : centre, rapport, angle

Énoncé

Dans le plan complexe, on considère la transformation $f : z \mapsto (1 + i)z + 2 - i$ .

Montrer que $f$ admet un unique point fixe $\omega$ , et le déterminer.
Exprimer $f(z) - \omega$ en fonction de $z - \omega$ . En déduire la nature de $f$ , son rapport et son angle.
Quelle est l'image par $f$ du cercle de centre $0$ et de rayon $1$ ?

Indication 1

Pour 1, résoudre $f(z) = z$ .

Indication 2

Pour 2, $1 + i = \sqrt{2}\, e^{i\pi/4}$ .

Indication 3

Pour 3, une similitude de rapport $k$ transforme un cercle de rayon $r$ en un cercle de rayon $kr$ , dont le centre est l'image du centre.

Connecte-toi pour envoyer ta copie en photos : trois membres la reliront.

Projeté orthogonal et symétrique d'un point par rapport à un planGéométrieNiveaux : L1, MPSI, MP2I, PCSI, PTSI.1/5NouveauNouveau
Distance entre deux droites non coplanaires de l'espaceGéométrieNiveaux : L1, MPSI, MP2I, PCSI, PTSI.2/5NouveauNouveau
Linéarisation de $\sin^3 x$ par les formules d'EulerAlgèbre, AnalyseNiveaux : L1, MPSI, MP2I, PCSI, PTSI.1/5NouveauNouveau
Équation du second degré à coefficients complexesAlgèbreNiveaux : L1, MPSI, MP2I, PCSI, PTSI.1/5NouveauNouveau
Forme exponentielle d'un quotient de nombres complexesAlgèbreNiveaux : L1, MPSI, MP2I, PCSI, PTSI.1/5NouveauNouveau
Axe et angle d'une rotation de $\R^3$ donnée par sa matriceAlgèbre linéaire, GéométrieNiveaux : L1, L2, MPSI, PCSI, PTSI.2/5NouveauNouveau