L'adhérence d'un sous-espace vectoriel ; un hyperplan est fermé ou dense

L3 MPdifficulté 2/5Topologie · Espaces vectoriels norméspar XiMathspas encore de copie envoyée▲ Utile · 0

Énoncé

Soit $E$ un espace vectoriel normé et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ .

Montrer que l'adhérence $\overline{F}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .
On suppose que $F$ est un hyperplan de $E$ . Montrer que $F$ est fermé, ou dense dans $E$ .
Donner un exemple d'hyperplan dense dans un espace vectoriel normé.

Indication 1

Pour 1, écrire deux éléments de $\overline{F}$ comme limites de suites d'éléments de $F$ .

Indication 2

Pour 2, $\overline{F}$ est un sous-espace vectoriel qui contient l'hyperplan $F$ : il n'y a que deux possibilités.

Indication 3

Pour 3, dans $\R[X]$ muni de la norme $\|P\| = \sup_{[0, 1]} |P|$ , regarder le noyau de $P \mapsto P(2)$ .

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