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Théorème de Cayley-Hamilton par densité des matrices diagonalisables

L3 MPdifficulté 4/5Algèbre linéaire · Topologie · Espaces vectoriels normés · Réduction des endomorphismespar XiMathspas encore de copie envoyée▲ Utile · 0

Énoncé

On note $\chi_A$ le polynôme caractéristique d'une matrice carrée $A$ .

Montrer que $\chi_A(A) = 0$ lorsque $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ est diagonalisable.
Montrer que l'ensemble des matrices diagonalisables est dense dans $\mathcal{M}_n(\C)$ .
En déduire que $\chi_A(A) = 0$ pour toute matrice $A$ de $\mathcal{M}_n(\C)$ , puis de $\mathcal{M}_n(\R)$ .

Indications

Indication 1

Pour 2, trigonaliser $A$ , puis modifier légèrement les coefficients diagonaux pour les rendre deux à deux distincts.

Indication 2

Pour 3, l'application $A \mapsto \chi_A(A)$ est continue : ses coefficients sont des polynômes en ceux de $A$ .

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