Théorème de Riesz : la boule unité n'est compacte qu'en dimension finie

L3 M1 MPdifficulté 4/5Topologie · Espaces vectoriels norméspar XiMathspas encore de copie envoyée▲ Utile · 0

Énoncé

Soit $E$ un espace vectoriel normé.

(Lemme de Riesz.) Soit $F$ un sous-espace vectoriel fermé de $E$ , distinct de $E$ . Montrer qu'il existe $u \in E$ tel que $\|u\| = 1$ et $d(u, F) \geq \dfrac{1}{2}$ .
On suppose $E$ de dimension infinie. Construire une suite $(u_n)$ de vecteurs de norme $1$ telle que $\|u_n - u_m\| \geq \dfrac{1}{2}$ pour tous $n \neq m$ .
En déduire que la boule unité fermée de $E$ est compacte si et seulement si $E$ est de dimension finie.

Indication 1

Pour 1, prendre $x \notin F$ , puis $y \in F$ tel que $\|x - y\| \leq 2\, d(x, F)$ , et normaliser $x - y$ .

Indication 2

Pour 2, un sous-espace de dimension finie est fermé : appliquer le lemme à $F_n = \mathrm{Vect}(u_1, \dots, u_n)$ .

Indication 3

Pour 3, une suite dont les termes sont deux à deux distants d'au moins $\dfrac{1}{2}$ n'a aucune sous-suite convergente.

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