$\mathrm{GL}_n(\R)$ est un ouvert dense de $\mathcal{M}_n(\R)$

L3 MPdifficulté 3/5Algèbre linéaire · Topologie · Espaces vectoriels normés · Réduction des endomorphismespar XiMathspas encore de copie envoyée▲ Utile · 0

Énoncé

Montrer que $\mathrm{GL}_n(\R)$ est un ouvert de $\mathcal{M}_n(\R)$ .
Montrer que $\mathrm{GL}_n(\R)$ est dense dans $\mathcal{M}_n(\R)$ .
Application : montrer que, pour toutes matrices $A$ et $B$ de $\mathcal{M}_n(\R)$ , les matrices $AB$ et $BA$ ont le même polynôme caractéristique.

Indications

Indication 1

Pour 1, le déterminant est une fonction continue des coefficients.

Indication 2

Pour 2, $A$ étant fixée, la matrice $A - \lambda I_n$ n'est non inversible que pour un nombre fini de réels $\lambda$ .

Indication 3

Pour 3, traiter d'abord le cas où $A$ est inversible : $BA = A^{-1}(AB)A$ . Conclure par densité, les coefficients du polynôme caractéristique étant des fonctions continues de la matrice.

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GLn(R)\mathrm{GL}_n(\R)GLn​(R) est un ouvert dense de Mn(R)\mathcal{M}_n(\R)Mn​(R)

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