Une forme linéaire est continue si et seulement si son noyau est fermé

L3 MPdifficulté 3/5Topologie · Espaces vectoriels norméspar XiMathspas encore de copie envoyée▲ Utile · 0

Énoncé

Soit $E$ un espace vectoriel normé et $\varphi$ une forme linéaire non nulle sur $E$ . Montrer que $\varphi$ est continue si et seulement si son noyau $\ker \varphi$ est fermé.

Indications

Indication 1

Sens direct : $\ker \varphi$ est l'image réciproque du fermé $\{0\}$ par $\varphi$ .

Indication 2

Réciproque, par contraposée : si $\varphi$ n'est pas continue, il existe une suite $(x_n)$ de vecteurs de norme $1$ telle que $|\varphi(x_n)| \to +\infty$ .

Indication 3

Fixer $a$ tel que $\varphi(a) = 1$ : la suite $a - \dfrac{x_n}{\varphi(x_n)}$ est dans le noyau et tend vers $a$ .

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