Décomposition de Dunford : existence et unicité

L3 MPdifficulté 5/5Algèbre linéaire · Réduction des endomorphismespar XiMathspas encore de copie envoyée▲ Utile · 0

Énoncé

Soit $E$ un $\C$ -espace vectoriel de dimension finie et $u$ un endomorphisme de $E$ .

Montrer qu'il existe un endomorphisme diagonalisable $d$ et un endomorphisme nilpotent $n$ tels que $u = d + n$ et $d \circ n = n \circ d$ .
Montrer que l'on peut choisir $d$ et $n$ polynômes en $u$ .
Montrer que le couple $(d, n)$ est unique.

Indications

Indication 1

Pour 1, décomposer $E$ en somme directe des sous-espaces caractéristiques $\ker (u - \lambda\, \mathrm{id})^{m_\lambda}$ , et prendre pour $d$ l'endomorphisme qui vaut $\lambda\, \mathrm{id}$ sur chacun d'eux.

Indication 2

Pour 2, les projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques sont des polynômes en $u$ : lemme des noyaux et relation de Bézout.

Indication 3

Pour 3, si $u = d' + n'$ est une autre décomposition, $d'$ et $n'$ commutent avec $u$ , donc avec $d$ et $n$ : $d - d' = n' - n$ est à la fois diagonalisable et nilpotent.

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