Théorème de Heine : continue sur un compact, donc uniformément continue

L2 L3 MPdifficulté 3/5Topologie · Espaces métriques et compacitépar XiMathspas encore de copie envoyée▲ Utile · 0

Énoncé

Soit $(K, d)$ un espace métrique compact, $(Y, \delta)$ un espace métrique et $f : K \to Y$ une application continue.

Montrer que $f$ est uniformément continue.
Donner un exemple de fonction continue et bornée sur $\R$ qui n'est pas uniformément continue.

Indications

Indication 1

Raisonner par l'absurde : il existe $\varepsilon > 0$ et deux suites $(x_n)$ , $(y_n)$ de $K$ telles que $d(x_n, y_n) \to 0$ et $\delta(f(x_n), f(y_n)) \geq \varepsilon$ .

Indication 2

Extraire de $(x_n)$ une sous-suite convergente : la sous-suite correspondante de $(y_n)$ a la même limite.

Indication 3

Pour 2, penser à $x \mapsto \sin(x^2)$ .

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