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$\R$ et $\R^2$ ne sont pas homéomorphes

L3 MPdifficulté 3/5Topologie · Espaces métriques et compacitépar XiMathspas encore de copie envoyée▲ Utile · 0

Énoncé

Montrer que $\R^2$ privé d'un point est connexe par arcs.
En déduire qu'il n'existe pas d'homéomorphisme de $\R$ sur $\R^2$ .
Le segment $[0, 1]$ et le cercle unité de $\R^2$ sont-ils homéomorphes ?

Indications

Indication 1

Pour 1, relier deux points par un segment, ou par deux segments si le premier passe par le point retiré.

Indication 2

Pour 2, un homéomorphisme $h : \R \to \R^2$ induirait un homéomorphisme de $\R \setminus \{0\}$ sur $\R^2 \setminus \{h(0)\}$ .

Indication 3

Pour 3, retirer du segment un point bien choisi.

Ta solution

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