Théorème de Banach-Steinhaus par le théorème de Baire

Soit $E$ un espace de Banach, $F$ un espace vectoriel normé et $(T_i)_{i \in I}$ une famille d'applications linéaires continues de $E$ dans $F$. On suppose que, pour tout $x \in E$, $\sup_{i \in I} \|T_i(x)\| < +\infty$.

1. Pour $n \in \N$, on pose $A_n = \{x \in E : \forall i \in I,\ \|T_i(x)\| \leq n\}$. Montrer que chaque $A_n$ est fermé, et que l'un d'eux est d'intérieur non vide.
2. En déduire que $\sup_{i \in I} \|T_i\| < +\infty$.
3. Application. Soit $(T_n)$ une suite d'applications linéaires continues de $E$ dans $F$ qui converge simplement vers une application $T$. Montrer que $T$ est linéaire et continue.