Point fixe sur un compact : $d(f(x), f(y)) < d(x, y)$ suffit

Soit $(K, d)$ un espace métrique compact non vide et $f : K \to K$ une application telle que, pour tous $x \neq y$ dans $K$, $d(f(x), f(y)) < d(x, y)$.

1. Montrer que $f$ admet un unique point fixe $a$.
2. Soit $x_0 \in K$ et, pour tout $n$, $x_{n+1} = f(x_n)$. Montrer que la suite $(x_n)$ converge vers $a$.
3. Montrer par un exemple que la question 1 tombe en défaut si l'on suppose seulement $K$ complet.