Longueur et aire de la cardioïde $\rho = 1 + \cos\theta$

Énoncé

On considère la courbe d'équation polaire $\rho(\theta) = 1 + \cos\theta$ , pour $\theta \in [-\pi, \pi]$ .

Indication 1

$\rho$ est paire : la courbe est symétrique par rapport à l'axe des abscisses.

Indication 2

L'aire vaut $\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \rho(\theta)^2 \,\mathrm{d}\theta$ .

Indication 3

L'élément de longueur est $\sqrt{\rho^2 + \rho'^2}\,\mathrm{d}\theta$ , et $1 + \cos\theta = 2\cos^2\dfrac{\theta}{2}$ .

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