Hélice circulaire : longueur, courbure et torsion

L2 L3difficulté 3/5Géométrie · Courbes paramétrées et coniquespar XiMathspas encore de copie envoyée▲ Utile · 0

Énoncé

Soit $a > 0$ et $b > 0$ . On considère l'hélice paramétrée par $M(t) = (a\cos t,\ a\sin t,\ bt)$ , $t \in \R$ .

Calculer la longueur de l'arc d'hélice correspondant à $t \in [0, 2\pi]$ .
Déterminer le repère de Frenet $(\vec{T}, \vec{N}, \vec{B})$ en tout point.
En déduire que la courbure et la torsion sont constantes, et les calculer.

Indications

Indication 1

La vitesse est de norme constante $\sqrt{a^2 + b^2}$ : l'abscisse curviligne est $s = t\sqrt{a^2 + b^2}$ .

Indication 2

$\vec{N}$ est le vecteur unitaire qui dirige $\dfrac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}s}$ , et $\vec{B} = \vec{T} \wedge \vec{N}$ .

Indication 3

Les formules de Frenet s'écrivent $\dfrac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}s} = \kappa \vec{N}$ et $\dfrac{\mathrm{d}\vec{B}}{\mathrm{d}s} = -\tau \vec{N}$ .

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