Cercle orthoptique d'une ellipse

Soit $a > b > 0$ et $\mathcal{E}$ l'ellipse d'équation $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$.

1. Montrer que la droite d'équation $y = mx + p$ est tangente à $\mathcal{E}$ si et seulement si $p^2 = a^2 m^2 + b^2$.
2. Soit $M(x_0, y_0)$ un point du plan tel que $x_0^2 \neq a^2$. Montrer que les pentes des tangentes à $\mathcal{E}$ issues de $M$ sont les racines réelles de l'équation $(x_0^2 - a^2)\, m^2 - 2 x_0 y_0\, m + y_0^2 - b^2 = 0$.
3. En déduire que l'ensemble des points d'où l'on peut mener à $\mathcal{E}$ deux tangentes perpendiculaires est le cercle d'équation $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$.