Théorème de Weierstrass par les polynômes de Bernstein

Soit $f : [0, 1] \to \R$ une fonction continue. Pour $n \geq 1$ et $x \in [0, 1]$, on pose

$$B_n(f)(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f\left(\dfrac{k}{n}\right) x^k (1-x)^{n-k}.$$

1. Montrer que, pour tout $x \in [0, 1]$, $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \left(\dfrac{k}{n} - x\right)^2 x^k (1-x)^{n-k} = \dfrac{x(1-x)}{n}$.
2. Soit $\varepsilon > 0$, et $\delta > 0$ tel que $|f(x) - f(y)| \leq \varepsilon$ dès que $|x - y| \leq \delta$. Montrer que, pour tout $x \in [0, 1]$, $|B_n(f)(x) - f(x)| \leq \varepsilon + \dfrac{\|f\|_\infty}{2 n \delta^2}$.
3. En déduire que toute fonction continue sur $[0, 1]$ est limite uniforme d'une suite de fonctions polynomiales.