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Irrationalité de π\pi (preuve de Niven)

L2L3MPdifficulté 5/5Analyse · Calcul intégralpar XiMathspas encore de copie envoyée▲ Utile · 0

Énoncé

On suppose par l'absurde que π=ab\pi = \dfrac{a}{b}, avec aa et bb entiers strictement positifs. Pour n≥1n \geq 1, on pose Pn(x)=xn(a−bx)nn!P_n(x) = \dfrac{x^n (a - bx)^n}{n!} et In=∫0πPn(x)sin⁡x dxI_n = \displaystyle\int_0^{\pi} P_n(x) \sin x \,\mathrm{d}x.

  1. Montrer que In>0I_n > 0 et que In→0I_n \to 0 quand n→+∞n \to +\infty.
  2. Montrer que, pour tout entier k≥0k \geq 0, les nombres Pn(k)(0)P_n^{(k)}(0) et Pn(k)(π)P_n^{(k)}(\pi) sont des entiers.
  3. En intégrant par parties, montrer que InI_n est un entier. Conclure.

Indications

Indication 1

Pour 1, sur ]0,π[]0, \pi[ on a 0<x(a−bx)≤πa0 < x(a - bx) \leq \pi a.

Indication 2

Pour 2, PnP_n est 1n!\dfrac{1}{n!} fois un polynôme à coefficients entiers dont tous les termes sont de degré au moins nn. Remarquer aussi que Pn(π−x)=Pn(x)P_n(\pi - x) = P_n(x).

Indication 3

Pour 3, des intégrations par parties successives expriment InI_n à l'aide des Pn(2j)(0)P_n^{(2j)}(0) et des Pn(2j)(π)P_n^{(2j)}(\pi). Une suite d'entiers strictement positifs ne peut pas tendre vers 00.

Ta solution

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