Structures algébriques usuelles

Cadre et notations

Une loi de composition interne sur un ensemble $E$ est une application $E \times E \to E$, notée $(x, y) \mapsto x * y$. Elle est associative si $(x * y) * z = x * (y * z)$, commutative si $x * y = y * x$. Un élément $e$ est neutre si $e * x = x * e = x$ pour tout $x$ ; il est alors unique. Un élément $x$ est inversible s'il existe $y$ tel que $x * y = y * x = e$ ; pour une loi associative, cet inverse est unique, et si $x$ et $y$ sont inversibles, $x * y$ l'est, d'inverse $y^{-1} * x^{-1}$. Une partie $A$ est stable si $x * y \in A$ pour tous $x, y \in A$.

Groupes

Définition. Un groupe est un ensemble $G$ muni d'une loi associative, ayant un élément neutre, dans lequel tout élément est inversible. Il est abélien si sa loi est commutative.

En notation multiplicative, on écrit $x^n$ ($n \in \Z$) ; en notation additive, $nx$. Exemples : $(\Z, +)$, $(\Q, +)$, $(\R, +)$, $(\C, +)$ ; $(\Q^*, \times)$, $(\R^*, \times)$, $(\R_+^*, \times)$, $(\C^*, \times)$, $(\mathbb{U}, \times)$, $(\mathbb{U}_n, \times)$ ; le groupe $\mathfrak{S}_X$ des bijections d'un ensemble $X$, muni de la composition, qui n'est pas abélien dès que $X$ a au moins trois éléments. Le produit $G_1 \times G_2$ de deux groupes, muni de la loi composante par composante, est un groupe.

Proposition (caractérisation des sous-groupes). Une partie $H$ d'un groupe $G$ est un sous-groupe (un groupe pour la loi induite) si et seulement si $H$ contient le neutre et si $x y^{-1} \in H$ pour tous $x, y \in H$.

Exemple : les sous-groupes de $(\Z, +)$ sont les $n\Z$, $n \in \N$.

Définition. Soient $G$ et $G'$ deux groupes. Une application $f : G \to G'$ est un morphisme si $f(xy) = f(x) f(y)$ pour tous $x, y \in G$. On a alors $f(e) = e'$ et $f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$. Un isomorphisme est un morphisme bijectif ; sa réciproque est un morphisme.

Proposition. Soit $f : G \to G'$ un morphisme de groupes.

1. L'image directe d'un sous-groupe de $G$ et l'image réciproque d'un sous-groupe de $G'$ sont des sous-groupes.
2. Le noyau $\operatorname{Ker} f = \{ x \in G : f(x) = e' \}$ et l'image $\operatorname{Im} f = f(G)$ sont des sous-groupes de $G$ et de $G'$.
3. $f$ est injectif si et seulement si $\operatorname{Ker} f = \{ e \}$.

Exemples : $\exp : (\R, +) \to (\R_+^*, \times)$ est un isomorphisme ; $\theta \mapsto e^{i\theta}$ est un morphisme de $(\R, +)$ sur $(\mathbb{U}, \times)$, de noyau $2\pi\Z$.

Anneaux et corps

Définition. Un anneau est un ensemble $A$ muni de deux lois $+$ et $\times$ telles que $(A, +)$ soit un groupe abélien, $\times$ soit associative, distributive par rapport à $+$, et admette un élément neutre $1_A$. L'anneau est commutatif si $\times$ l'est.

Exemples : $\Z$, $\Q$, $\R$, $\C$, l'anneau $\K[X]$ des polynômes, l'anneau $\mathcal{M}_n(\K)$ des matrices carrées, qui n'est pas commutatif si $n \geq 2$. Dans un anneau, $0_A \times x = 0_A$ pour tout $x$.

Proposition. Soient $A$ un anneau, $a, b \in A$ tels que $ab = ba$, et $n \in \N$. Alors

$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k} \qquad \text{et} \qquad a^n - b^n = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k}.$$

Les éléments inversibles pour $\times$ forment un groupe, le groupe des inversibles de $A$ : par exemple $\{ -1, 1 \}$ pour $\Z$, et $GL_n(\K)$ pour $\mathcal{M}_n(\K)$.

Un anneau commutatif $A$ est intègre s'il n'est pas réduit à $\{0\}$ et si $ab = 0 \implies a = 0$ ou $b = 0$. Un corps est un anneau commutatif, non réduit à $\{0\}$, dont tout élément non nul est inversible : $\Q$, $\R$, $\C$. Un corps est intègre.

Une partie $B$ d'un anneau $A$ est un sous-anneau si elle contient $1_A$ et si $x - y \in B$ et $xy \in B$ pour tous $x, y \in B$. Un morphisme d'anneaux $f : A \to A'$ vérifie $f(x + y) = f(x) + f(y)$, $f(xy) = f(x) f(y)$ et $f(1_A) = 1_{A'}$ ; un isomorphisme d'anneaux est un morphisme bijectif. Exemple : la conjugaison est un isomorphisme de l'anneau $\C$ sur lui-même.

Pièges fréquents

• Oublier de vérifier qu'une partie contient le neutre avant de parler de sous-groupe.
• Développer $(a + b)^2$ en $a^2 + 2ab + b^2$ dans un anneau non commutatif sans savoir que $ab = ba$.
• Écrire « $ab = 0$ donc $a = 0$ ou $b = 0$ » dans $\mathcal{M}_n(\K)$, qui a des diviseurs de zéro.
• Croire qu'un morphisme de groupes $f$ vérifie $f(x + y) = f(x) + f(y)$ quand les lois sont multiplicatives : la relation suit les lois des deux groupes.