Croissance logistique d'une population

L1 PCSI BCPST1difficulté 2/5Analyse · Équations différentiellespar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

L'effectif $N(t)$ d'une population de bactéries vérifie l'équation logistique $N'(t) = N(t)\left(1 - \frac{N(t)}{1000}\right), \qquad N(0) = 100,$ et l'on admet que $N$ ne s'annule pas.

On pose $z = \dfrac{1}{N}$ . Montrer que $z$ vérifie une équation différentielle linéaire du premier ordre.
En déduire $N(t)$ pour tout $t \geq 0$ , et sa limite quand $t \to +\infty$ .
À quel instant la population atteint-elle $500$ individus ?

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Indications

Indication 1

$z' = -\dfrac{N'}{N^2}$ : diviser l'équation par $N^2$ .

Indication 2

On trouve $z' = -z + \dfrac{1}{1000}$ , puis $N(t) = \dfrac{1000}{1 + 9e^{-t}}$ .

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