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Durée de vie exponentielle : médiane et absence de mémoire

L2BCPST2ECG2BL2difficulté 2/5Probabilités · Variables à densité et estimationpar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

La durée de vie TT d'un individu, en années, suit la loi exponentielle de paramètre λ>0\lambda > 0 : sa densité est t↦λe−λtt \mapsto \lambda e^{-\lambda t} sur [0,+∞[[0, +\infty[.

  1. Calculer P(T>t)P(T > t) pour t≥0t \geq 0, puis l'espérance de TT.
  2. Montrer que P(T>s+t∣T>s)=P(T>t)P(T > s + t \mid T > s) = P(T > t) pour tous s,t≥0s, t \geq 0.
  3. La durée de vie moyenne est de 1010 ans. Quelle est la durée de vie médiane, c'est-à-dire le réel mm tel que P(T≤m)=12P(T \leq m) = \tfrac{1}{2} ?
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Indications

Indication 1

P(T>t)=∫t+∞λe−λu du=e−λtP(T > t) = \displaystyle\int_t^{+\infty} \lambda e^{-\lambda u}\,\mathrm{d}u = e^{-\lambda t} ; l'espérance se calcule par une intégration par parties.

Indication 2

L'espérance vaut 1λ\dfrac{1}{\lambda}, donc λ=110\lambda = \dfrac{1}{10} ; résoudre e−λm=12e^{-\lambda m} = \tfrac{1}{2}.

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Questions et remarques

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