Fidélité à une marque : une chaîne de Markov à deux états

L2 BCPST2 ECG1 ECG2 BL2difficulté 2/5Probabilités · Probabilités conditionnellespar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Chaque semaine, un consommateur achète la marque $A$ ou la marque $B$ . S'il a acheté $A$ , il rachète $A$ la semaine suivante avec la probabilité $0{,}8$ ; s'il a acheté $B$ , il passe à $A$ avec la probabilité $0{,}3$ . Il achète $A$ la semaine $0$ , et l'on note $a_n$ la probabilité qu'il achète $A$ la semaine $n$ .

Montrer que $a_{n+1} = 0{,}5\,a_n + 0{,}3$ pour tout $n \in \N$ .
En déduire $a_n$ en fonction de $n$ .
Quelle est la limite de $(a_n)$ ? Dépend-elle de l'achat de la semaine $0$ ?

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Indications

Indication 1

Formule des probabilités totales, avec le système complet « il achète $A$ la semaine $n$ », « il achète $B$ la semaine $n$ ».

Indication 2

La suite est arithmético-géométrique : retrancher le point fixe de $x \mapsto 0{,}5\,x + 0{,}3$ .

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