Estimer le paramètre d'une loi uniforme par le maximum de l'échantillon

Soit $\theta > 0$ inconnu, et $X_1, \dots, X_n$ des variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur $[0, \theta]$. On pose $M_n = \max(X_1, \dots, X_n)$.

1. Déterminer la fonction de répartition de $M_n$, puis une densité de $M_n$.
2. Calculer $E(M_n)$, et en déduire un estimateur sans biais $T_n$ de $\theta$ de la forme $c_n M_n$.
3. Calculer la variance de $T_n$, et la comparer à celle de l'estimateur sans biais $2\,\overline{X}_n$, où $\overline{X}_n$ est la moyenne de l'échantillon. Lequel préférer ?