Densité $c\,x(1 - x)$ sur $[0, 1]$ : constante, espérance, variance

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = c\,x(1 - x)$ si $x \in [0, 1]$ et $f(x) = 0$ sinon.

Déterminer le réel $c$ pour que $f$ soit une densité de probabilité.
Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ . Calculer $E(X)$ , puis $V(X)$ .

Indication 1

Une densité est positive et d'intégrale $1$ : calculer $\displaystyle\int_0^1 x(1 - x)\,\mathrm{d}x$ .

Indication 2

$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ , avec $E(X^2) = \displaystyle\int_0^1 x^2 f(x)\,\mathrm{d}x$ .

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