Attendre la première boule rouge : rang pair ou impair

L2 BCPST2 ECG1 BL2difficulté 2/5Probabilités · Variables aléatoires discrètespar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Une urne contient $2$ boules rouges et $3$ boules blanches. On tire une boule, on la remet, et l'on recommence jusqu'à obtenir une boule rouge. On note $X$ le nombre de tirages effectués.

Donner la loi de $X$ et son espérance.
Calculer la probabilité que $X$ soit pair.

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Indications

Indication 1

$X$ suit la loi géométrique de paramètre $p = \tfrac{2}{5}$ : $P(X = k) = p\,(1 - p)^{k-1}$ .

Indication 2

$P(X \text{ pair}) = \displaystyle\sum_{k \geq 1} P(X = 2k)$ est la somme d'une série géométrique.

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