Maximiser une utilité sous contrainte de budget

L2 ECG2 BL2difficulté 1/5Analyse · Fonctions de plusieurs variablespar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Un consommateur achète des quantités $x > 0$ et $y > 0$ de deux biens, de prix unitaires $2$ et $3$ , avec un budget de $12$ qu'il dépense entièrement : $2x + 3y = 12$ . Son utilité est $U(x, y) = xy$ .

Exprimer $y$ en fonction de $x$ , et l'utilité comme une fonction $u$ de la seule variable $x$ . Sur quel intervalle ?
Déterminer le panier $(x, y)$ qui maximise l'utilité, et la valeur de ce maximum.
Vérifier qu'en ce point le rapport $\dfrac{\partial U / \partial x}{\partial U / \partial y}$ est égal au rapport des prix.

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Indications

Indication 1

$y = \dfrac{12 - 2x}{3}$ avec $0 < x < 6$ , et $u(x) = \dfrac{x(12 - 2x)}{3}$ .

Indication 2

$u$ est un trinôme du second degré : son maximum est au milieu de ses racines.

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