Modèle de Leontief à deux secteurs

L1 BCPST1 ECG1 BL1difficulté 1/5Algèbre linéaire · Calcul matricielpar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Une économie compte deux secteurs. Pour produire une unité, le secteur 1 consomme $0{,}2$ unité de sa propre production et $0{,}4$ unité de celle du secteur 2 ; le secteur 2 consomme $0{,}3$ unité de la production du secteur 1 et $0{,}1$ unité de la sienne. La demande des ménages est de $30$ unités pour le secteur 1 et de $60$ pour le secteur 2. On note $x_1$ et $x_2$ les productions qui satisfont exactement toutes les demandes.

Écrire le système vérifié par $(x_1, x_2)$ sous la forme $(I_2 - A)X = D$ , en précisant les matrices $A$ et $D$ .
Montrer que $I_2 - A$ est inversible et calculer son inverse.
En déduire $x_1$ et $x_2$ , puis la production totale $x_1 + x_2$ .

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Indications

Indication 1

La production du secteur 1 sert aux deux secteurs et aux ménages : $x_1 = 0{,}2\,x_1 + 0{,}3\,x_2 + 30$ .

Indication 2

$I_2 - A = \begin{pmatrix} 0{,}8 & -0{,}3 \\ -0{,}4 & 0{,}9 \end{pmatrix}$ , de déterminant $0{,}6$ .

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