Cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire pour des nombres complexes

L1 MPSI MP2I PCSI PTSI MP MPIdifficulté 2/5Algèbre · Nombres complexespar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

Soit $n \geq 2$ et $z_1, \dots, z_n$ des nombres complexes non nuls. Montrer que

\left|\sum_{k=1}^{n} z_k\right| = \sum_{k=1}^{n} |z_k|

si et seulement s'il existe des réels $\lambda_2, \dots, \lambda_n$ strictement positifs tels que $z_k = \lambda_k z_1$ pour tout $k \in [\![2, n]\!]$ .

Indications

Indication 1

Pour $n = 2$ : développer $|z_1 + z_2|^2 = (|z_1| + |z_2|)^2$ , et en déduire que $z_1 \overline{z_2}$ est un réel strictement positif.

Indication 2

Pour passer de $n$ à $n + 1$ : $\left|\sum_{k=1}^{n+1} z_k\right| \leq \left|\sum_{k=1}^{n} z_k\right| + |z_{n+1}| \leq \sum_{k=1}^{n+1} |z_k|$ , et l'égalité force l'égalité à chaque étape.

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