Population de truites : une suite arithmético-géométrique

L1 BCPST1 ECG1 BL1difficulté 1/5Analyse · Suites numériquespar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Un étang contient $200$ truites. Chaque année, $20\,\%$ des truites disparaissent, puis on en réintroduit $60$ . On note $u_n$ le nombre de truites après $n$ années, de sorte que $u_0 = 200$ et $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 60$ .

Déterminer le réel $\ell$ tel que $\ell = 0{,}8\,\ell + 60$ .
Montrer que la suite $(u_n - \ell)$ est géométrique, et en déduire $u_n$ en fonction de $n$ .
Vers quelle valeur la population se stabilise-t-elle ?

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Indications

Indication 1

Soustraire les égalités $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 60$ et $\ell = 0{,}8\,\ell + 60$ .

Indication 2

Une suite géométrique de raison $0{,}8$ tend vers $0$ .

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