Courbe de Lorenz et indice de Gini

Énoncé

Dans une population, la part du revenu total que détient la fraction $x \in [0, 1]$ des ménages les plus modestes est $L(x) = \dfrac{x^2 + x^3}{2}$ .

Vérifier que $L(0) = 0$ , $L(1) = 1$ , que $L$ est croissante et convexe, et que $L(x) \leq x$ sur $[0, 1]$ .
Quelle part du revenu total détient la moitié la plus modeste de la population ?
L'indice de Gini est $G = 2\displaystyle\int_0^1 \big(x - L(x)\big)\,\mathrm{d}x$ : il vaut $0$ quand tous les revenus sont égaux. Calculer $G$ .

Indication 1

Pour $L(x) \leq x$ : $x - L(x) = \dfrac{x(1 - x)(2 + x)}{2}$ .

Indication 2

$\displaystyle\int_0^1 L(x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right)$ .

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