Modèle de Leslie à deux classes d'âge

L2 BCPST2 ECG2 BL2difficulté 2/5Algèbre linéaire · Réduction des endomorphismespar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Une population est formée de juvéniles et d'adultes, d'effectifs $j_n$ et $a_n$ l'année $n$ . D'une année à la suivante, $\begin{pmatrix} j_{n+1} \\ a_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} j_n \\ a_n \end{pmatrix}, \qquad A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ \tfrac{1}{2} & 0 \end{pmatrix},$ et l'on part de $j_0 = a_0 = 10$ .

Déterminer les valeurs propres de $A$ et un vecteur propre pour chacune.
En déduire $j_n$ et $a_n$ en fonction de $n$ .
Déterminer la limite du rapport $\dfrac{j_n}{a_n}$ : c'est la structure d'âge vers laquelle tend la population.

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Indications

Indication 1

Le polynôme caractéristique est $\lambda^2 - \lambda - 2$ .

Indication 2

Décomposer le vecteur $(10, 10)$ dans la base de vecteurs propres : chaque composante est multipliée par sa valeur propre à chaque année.

Indication 3

Le terme en $2^n$ l'emporte sur le terme en $(-1)^n$ .

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