Somme de la série de terme général $n^2/3^n$

L2 BCPST2 ECG1 BL2difficulté 2/5Analyse · Séries numériquespar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Justifier la convergence de la série $\displaystyle\sum_{n \geq 0} \frac{n^2}{3^n}$ .
Écrire $n^2 = n(n - 1) + n$ , et calculer sa somme à l'aide des séries géométriques dérivées.

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Indications

Indication 1

Pour $|x| < 1$ : $\displaystyle\sum_{n \geq 1} n x^{n-1} = \frac{1}{(1 - x)^2}$ et $\displaystyle\sum_{n \geq 2} n(n - 1) x^{n-2} = \frac{2}{(1 - x)^3}$ .

Indication 2

Avec $x = \tfrac{1}{3}$ : $\displaystyle\sum n x^n = \frac{3}{4}$ et $\displaystyle\sum n(n - 1) x^n = \frac{3}{4}$ .

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Somme de la série de terme général n2/3nn^2/3^nn2/3n