Inégalité de Hölder pour des sommes finies

L2 L3 MPSI MP2I MP MPIdifficulté 3/5Analyse · Topologie · Espaces vectoriels norméspar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

Soit $p$ et $q$ deux réels de $]1, +\infty[$ tels que $\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$ , et $(x_1, \dots, x_n)$ , $(y_1, \dots, y_n)$ deux familles de réels. Montrer que

\left|\sum_{k=1}^{n} x_k y_k\right| \leq \left(\sum_{k=1}^{n} |x_k|^p\right)^{1/p} \left(\sum_{k=1}^{n} |y_k|^q\right)^{1/q}.

Indications

Indication 1

Par concavité du logarithme, $ab \leq \dfrac{a^p}{p} + \dfrac{b^q}{q}$ pour tous réels $a, b > 0$ (inégalité de Young).

Indication 2

Se ramener au cas où les deux membres de droite valent $1$ en divisant chaque famille par sa « norme », puis sommer l'inégalité de Young.

Ta solution

Connecte-toi pour envoyer ta copie en photos : trois membres la reliront.

PartagerWhatsApp Facebook X Pinterest Email

Questions et remarques

Pour demander une précision, signaler une coquille ou discuter d'une méthode. Pas de solution ici : elle s'envoie en copie, plus haut.

Connecte-toi pour poser une question ou répondre.

Exercices proches

Norme subordonnée euclidienne et valeurs propres de $A^\top A$ Algèbre linéaire, TopologieNiveaux : L2, L3, MP, MPI, PSI.3/5NouveauNouveau
Un compact est recouvert par un nombre fini de boules de rayon donnéTopologieNiveaux : L2, L3, MP, MPI, PSI.2/5NouveauNouveau
Dans un compact, une suite converge si et seulement si elle a une seule valeur d'adhérenceTopologieNiveaux : L2, L3, MP, MPI, PSI.2/5NouveauNouveau
Inégalité de Minkowski : $\|\cdot\|_p$ est une norme sur $\R^n$ TopologieNiveaux : L2, L3, MP, MPI.3/5NouveauNouveau
Théorème de Cayley-Hamilton par densité des matrices diagonalisablesAlgèbre linéaire, TopologieNiveaux : L3, MP, MPI.4/5NouveauNouveau
Théorème de Riesz : la boule unité n'est compacte qu'en dimension finieTopologieNiveaux : L3, M1, MP, MPI.4/5NouveauNouveau

Licence CC BY-SA 4.0.