Inégalité de Minkowski : $\|\cdot\|_p$ est une norme sur $\R^n$

L2 L3 MP MPIdifficulté 3/5Topologie · Espaces vectoriels norméspar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

Soit $p \in [1, +\infty[$ . Pour $x = (x_1, \dots, x_n) \in \R^n$ , on pose $\|x\|_p = \left(\sum_{k=1}^{n} |x_k|^p\right)^{1/p}$ .

Montrer que, pour tous $x, y \in \R^n$ , $\|x + y\|_p \leq \|x\|_p + \|y\|_p$ .
En déduire que $\|\cdot\|_p$ est une norme sur $\R^n$ .

Indications

Indication 1

Le cas $p = 1$ est immédiat. Pour $p > 1$ , écrire $|x_k + y_k|^p \leq |x_k + y_k|^{p-1} |x_k| + |x_k + y_k|^{p-1} |y_k|$ .

Indication 2

Appliquer l'inégalité de Hölder à chacune des deux sommes, avec l'exposant conjugué $q = \dfrac{p}{p - 1}$ , puis diviser par $\|x + y\|_p^{p-1}$ quand il n'est pas nul.

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Inégalité de Minkowski : ∥⋅∥p\|\cdot\|_p∥⋅∥p​ est une norme sur Rn\R^nRn