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Norme subordonnée euclidienne et valeurs propres de A⊤AA^\top A

L2L3MPMPIPSIdifficulté 3/5Algèbre linéaire · Topologie · Espaces euclidiens · Espaces vectoriels norméspar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

On munit Rn\R^n de sa norme euclidienne ∥⋅∥\|\cdot\| et, pour A∈Mn(R)A \in \mathcal{M}_n(\R), on note ∣∣∣A∣∣∣=sup⁡∥X∥=1∥AX∥|||A||| = \displaystyle\sup_{\|X\| = 1} \|AX\| la norme subordonnée. Soit A∈Mn(R)A \in \mathcal{M}_n(\R) et S=A⊤AS = A^\top A.

  1. Montrer que SS est symétrique positive.
  2. Montrer que rg⁡(S)=rg⁡(A)\operatorname{rg}(S) = \operatorname{rg}(A).
  3. Montrer que ∣∣∣A∣∣∣=max⁡λ∈Sp⁡(S)λ|||A||| = \displaystyle\max_{\lambda \in \operatorname{Sp}(S)} \sqrt{\lambda}.

Indications

Indication 1

Pour 1 et 2 : X⊤SX=∥AX∥2X^\top S X = \|AX\|^2, donc SX=0SX = 0 entraîne AX=0AX = 0 : ker⁡S=ker⁡A\ker S = \ker A.

Indication 2

Pour 3 : ∥AX∥2=X⊤SX\|AX\|^2 = X^\top S X. Décomposer XX dans une base orthonormée de vecteurs propres de SS, puis tester un vecteur propre unitaire associé à la plus grande valeur propre.

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