Racine carrée d'une matrice symétrique positive

L2 L3 MP MPI PSIdifficulté 3/5Algèbre linéaire · Espaces euclidiens · Réduction des endomorphismespar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

On note $\mathcal{S}_n^+(\R)$ l'ensemble des matrices symétriques réelles positives, c'est-à-dire dont les valeurs propres sont positives.

Soit $A \in \mathcal{S}_n^+(\R)$ . Montrer qu'il existe une unique matrice $R \in \mathcal{S}_n^+(\R)$ telle que $R^2 = A$ .

Indications

Indication 1

Existence : par le théorème spectral, $A = P\,\mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\,P^\top$ avec $P$ orthogonale ; prendre les racines carrées des $\lambda_i$ .

Indication 2

Unicité : si $R^2 = A$ , $R$ commute avec $A$ , donc laisse stable chaque sous-espace propre $E_\lambda(A)$ , où sa restriction est symétrique positive de carré $\lambda\,\mathrm{Id}$ : c'est $\sqrt{\lambda}\,\mathrm{Id}$ .

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