Décomposition polaire d'une matrice inversible

L3 M1 MP MPIdifficulté 4/5Algèbre linéaire · Espaces euclidiens · Réduction des endomorphismespar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

On note $\mathcal{S}_n^{++}(\R)$ l'ensemble des matrices symétriques réelles dont les valeurs propres sont strictement positives, et $\mathrm{O}_n(\R)$ le groupe orthogonal.

Soit $A \in \mathrm{GL}_n(\R)$ . Montrer qu'il existe un unique couple $(O, S) \in \mathrm{O}_n(\R) \times \mathcal{S}_n^{++}(\R)$ tel que $A = OS$ .

Indications

Indication 1

Analyse : si $A = OS$ , alors $A^\top A = S^2$ , et $A^\top A$ est symétrique à valeurs propres strictement positives. Utiliser l'unicité de la racine carrée d'une matrice symétrique positive.

Indication 2

Synthèse : prendre pour $S$ la racine carrée de $A^\top A$ , puis $O = A S^{-1}$ , et vérifier que $O^\top O = I_n$ .

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