Diagonalisation simultanée de deux endomorphismes qui commutent

L2 L3 MP MPI PSIdifficulté 3/5Algèbre linéaire · Réduction des endomorphismespar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

Soit $E$ un $\K$ -espace vectoriel de dimension finie, et $u, v$ deux endomorphismes diagonalisables de $E$ tels que $u \circ v = v \circ u$ .

Montrer qu'il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres communs à $u$ et à $v$ .

Indications

Indication 1

Les sous-espaces propres de $u$ sont stables par $v$ , puisque $u$ et $v$ commutent.

Indication 2

La restriction de $v$ à un sous-espace stable est diagonalisable : elle a pour polynôme annulateur un polynôme annulateur de $v$ , scindé à racines simples. Réunir des bases adaptées.

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