Commutant d'un endomorphisme à $n$ valeurs propres distinctes

L2 L3 MP MPI PSIdifficulté 3/5Algèbre linéaire · Réduction des endomorphismespar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

Soit $E$ un $\K$ -espace vectoriel de dimension $n \geq 1$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ admettant $n$ valeurs propres distinctes.

Montrer que l'ensemble des endomorphismes qui commutent avec $u$ est $\mathrm{Vect}(\mathrm{Id}_E, u, \dots, u^{n-1})$ .

Indications

Indication 1

Dans une base de vecteurs propres de $u$ , sa matrice est diagonale à coefficients distincts : les matrices qui commutent avec elle sont les matrices diagonales, qui forment un espace de dimension $n$ .

Indication 2

$\mathrm{Id}_E, u, \dots, u^{n-1}$ commutent avec $u$ et sont libres, sinon $u$ aurait un polynôme annulateur non nul de degré au plus $n - 1$ , qui s'annulerait en ses $n$ valeurs propres.

Ta solution

Connecte-toi pour envoyer ta copie en photos : trois membres la reliront.

PartagerWhatsApp Facebook X Pinterest Email

Questions et remarques

Pour demander une précision, signaler une coquille ou discuter d'une méthode. Pas de solution ici : elle s'envoie en copie, plus haut.

Connecte-toi pour poser une question ou répondre.

Exercices proches

Décomposition polaire d'une matrice inversibleAlgèbre linéaireNiveaux : L3, M1, MP, MPI.4/5NouveauNouveau
Racine carrée d'une matrice symétrique positiveAlgèbre linéaireNiveaux : L2, L3, MP, MPI, PSI.3/5NouveauNouveau
Une matrice de rang 1 est diagonalisable si et seulement si sa trace est non nulleAlgèbre linéaireNiveaux : L2, MP, MPI, PC, PSI.2/5NouveauNouveau
Diagonalisation simultanée de deux endomorphismes qui commutentAlgèbre linéaireNiveaux : L2, L3, MP, MPI, PSI.3/5NouveauNouveau
Décomposition de Dunford : existence et unicitéAlgèbre linéaireNiveaux : L3, MP, MPI.5/5NouveauNouveau
Théorème de Cayley-Hamilton par densité des matrices diagonalisablesAlgèbre linéaire, TopologieNiveaux : L3, MP, MPI.4/5NouveauNouveau

Licence CC BY-SA 4.0.

Commutant d'un endomorphisme à nnn valeurs propres distinctes