Une matrice de rang 1 est diagonalisable si et seulement si sa trace est non nulle

L2 MP MPI PC PSIdifficulté 2/5Algèbre linéaire · Réduction des endomorphismespar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Lu par 1 personne · aucune copie envoyée pour l'instant : la première validée rapporte le badge Pionnier.

Énoncé

Soit $\K = \R$ ou $\C$ et $A \in \mathcal{M}_n(\K)$ de rang $1$ .

Montrer que $A^2 = \operatorname{tr}(A)\, A$ .
En déduire que $A$ est diagonalisable si et seulement si $\operatorname{tr}(A) \neq 0$ .

Indications

Indication 1

Une matrice de rang $1$ s'écrit $A = C L$ , avec $C$ une colonne et $L$ une ligne non nulles, et $LC$ est un scalaire égal à $\operatorname{tr}(A)$ .

Indication 2

Si $\operatorname{tr}(A) \neq 0$ , le polynôme $X(X - \operatorname{tr}(A))$ annule $A$ et est scindé à racines simples. Sinon, $A$ est nilpotente et non nulle.

Ta solution

Connecte-toi pour envoyer ta copie en photos : trois membres la reliront.

PartagerWhatsApp Facebook X Pinterest Email

Questions et remarques

Pour demander une précision, signaler une coquille ou discuter d'une méthode. Pas de solution ici : elle s'envoie en copie, plus haut.

Connecte-toi pour poser une question ou répondre.

Exercices proches

Décomposition polaire d'une matrice inversibleAlgèbre linéaireNiveaux : L3, M1, MP, MPI.4/5NouveauNouveau
Racine carrée d'une matrice symétrique positiveAlgèbre linéaireNiveaux : L2, L3, MP, MPI, PSI.3/5NouveauNouveau
Diagonalisation simultanée de deux endomorphismes qui commutentAlgèbre linéaireNiveaux : L2, L3, MP, MPI, PSI.3/5NouveauNouveau
Commutant d'un endomorphisme à $n$ valeurs propres distinctesAlgèbre linéaireNiveaux : L2, L3, MP, MPI, PSI.3/5NouveauNouveau
Décomposition de Dunford : existence et unicitéAlgèbre linéaireNiveaux : L3, MP, MPI.5/5NouveauNouveau
Théorème de Cayley-Hamilton par densité des matrices diagonalisablesAlgèbre linéaire, TopologieNiveaux : L3, MP, MPI.4/5NouveauNouveau

Licence CC BY-SA 4.0.