Dans un compact, une suite converge si et seulement si elle a une seule valeur d'adhérence

L2 L3 MP MPI PSIdifficulté 2/5Topologie · Espaces vectoriels norméspar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

Soit $E$ un espace vectoriel normé, $K$ une partie compacte de $E$ et $(u_n)$ une suite d'éléments de $K$ .

Montrer que $(u_n)$ converge si et seulement si elle admet une unique valeur d'adhérence.

Indications

Indication 1

Si $(u_n)$ ne converge pas vers sa valeur d'adhérence $\ell$ , il existe $\varepsilon > 0$ et une suite extraite $(u_{\varphi(n)})$ telle que $\|u_{\varphi(n)} - \ell\| \geq \varepsilon$ pour tout $n$ .

Indication 2

Cette suite extraite reste dans le compact $K$ : elle a elle-même une valeur d'adhérence, distincte de $\ell$ .

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