Un compact est recouvert par un nombre fini de boules de rayon donné

L2 L3 MP MPI PSIdifficulté 2/5Topologie · Espaces vectoriels norméspar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

Soit $E$ un espace vectoriel normé et $K$ une partie compacte non vide de $E$ . Montrer que, pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe un entier $p \geq 1$ et des points $x_1, \dots, x_p$ de $K$ tels que

K \subset \bigcup_{k=1}^{p} B(x_k, \varepsilon).

Indications

Indication 1

Raisonner par l'absurde, et construire par récurrence une suite $(x_n)$ de $K$ telle que $x_{n+1} \notin \bigcup_{k \leq n} B(x_k, \varepsilon)$ .

Indication 2

Deux termes distincts de cette suite sont à distance au moins $\varepsilon$ : aucune suite extraite ne peut converger.

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