Aller au contenu
XiMaths
Se connecter
← Tous les exercices

Formule de Cauchy pour les coefficients d'une série entière

L2L3MPMPIPSIdifficulté 3/5Analyse · Séries entièrespar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

Soit ∑anzn\sum a_n z^n une série entière complexe de rayon de convergence R>0R > 0, et f(z)=∑n=0+∞anznf(z) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n sa somme sur le disque ouvert ∣z∣<R|z| < R.

Montrer que, pour tout r∈]0,R[r \in \left]0, R\right[ et tout n∈Nn \in \N,

an=12πrn∫02πf(reit)e−int dt.a_n = \frac{1}{2\pi r^n} \int_0^{2\pi} f\left(r e^{it}\right) e^{-int}\,\mathrm{d}t.

Indications

Indication 1

Écrire f(reit)e−int=∑k=0+∞akrkei(k−n)tf(re^{it}) e^{-int} = \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} a_k r^k e^{i(k - n)t} : la série converge normalement sur [0,2π][0, 2\pi], car ∑∣ak∣rk\sum |a_k| r^k converge.

Indication 2

Intégrer terme à terme sur le segment [0,2π][0, 2\pi], avec ∫02πeipt dt=0\displaystyle\int_0^{2\pi} e^{ipt}\,\mathrm{d}t = 0 pour p∈Z∗p \in \Z^*.

Ta solution

Connecte-toi pour envoyer ta copie en photos : trois membres la reliront.

PartagerWhatsAppFacebookXPinterestEmail

Questions et remarques

Pour demander une précision, signaler une coquille ou discuter d'une méthode. Pas de solution ici : elle s'envoie en copie, plus haut.

Connecte-toi pour poser une question ou répondre.

Exercices proches

Licence CC BY-SA 4.0.