Sous-groupes de $(\R, +)$ : monogènes ou denses

L1 L2 L3 MPSI MP2I MP MPIdifficulté 3/5Algèbre · Analyse · Groupes et anneaux · Nombres réelspar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

Soit $G$ un sous-groupe du groupe additif $(\R, +)$ , non réduit à $\{0\}$ . On pose $a = \inf\left(G \cap \left]0, +\infty\right[\right)$ .

Montrer que si $a > 0$ , alors $a \in G$ et $G = a\Z$ .
Montrer que si $a = 0$ , alors $G$ est dense dans $\R$ .

Indications

Indication 1

Pour 1, si $a \notin G$ , on trouve deux éléments de $G$ dans $\left]a, 2a\right[$ : leur différence est un élément de $G \cap \left]0, a\right[$ . Puis, pour $x \in G$ , regarder $x - \left\lfloor \frac{x}{a} \right\rfloor a$ .

Indication 2

Pour 2, pour $\varepsilon > 0$ prendre $g \in G \cap \left]0, \varepsilon\right[$ : les multiples entiers de $g$ sont dans $G$ et forment une grille de pas inférieur à $\varepsilon$ .

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