La fonction cosinus hyperbolique est majorée par $e^{t^2/2}$

L2 MP MPI PC PSI PTdifficulté 1/5Analyse · Fonctions usuelles · Séries entièrespar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

Montrer que, pour tout réel $t$ , $\operatorname{ch} t \leq e^{t^2/2}$ .

Indications

Indication 1

Développer les deux membres en série entière : $\operatorname{ch} t = \displaystyle\sum_{k \geq 0} \frac{t^{2k}}{(2k)!}$ et $e^{t^2/2} = \displaystyle\sum_{k \geq 0} \frac{t^{2k}}{2^k\,k!}$ .

Indication 2

Comparer terme à terme : $(2k)! \geq 2^k\,k!$ .

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La fonction cosinus hyperbolique est majorée par et2/2e^{t^2/2}et2/2