Théorème de Dini : convergence monotone vers une fonction continue

L2 L3 MP MPI PSIdifficulté 3/5Analyse · Suites et séries de fonctionspar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues de $[a, b]$ dans $\R$ , croissante (pour tout $x$ , la suite $(f_n(x))$ est croissante), qui converge simplement sur $[a, b]$ vers une fonction $f$ continue.

Montrer que la convergence est uniforme sur $[a, b]$ .

Indications

Indication 1

Raisonner par l'absurde : il existe $\varepsilon > 0$ , une extraction $\varphi$ et des points $x_n$ tels que $f(x_n) - f_{\varphi(n)}(x_n) \geq \varepsilon$ .

Indication 2

Extraire de $(x_n)$ une suite convergente, de limite $x$ . Pour $N$ fixé et $\varphi(n) \geq N$ , la croissance donne $f(x_n) - f_N(x_n) \geq \varepsilon$ : passer à la limite, $f$ et $f_N$ étant continues.

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