Convergence uniforme d'une suite de fonctions et de la série des différences

L2 L3 MP MPI PSIdifficulté 2/5Analyse · Suites et séries de fonctionspar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

Soit $A$ un ensemble et $(f_n)_{n \in \N}$ une suite de fonctions de $A$ dans $\C$ .

Montrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément sur $A$ si et seulement si la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n \geq 0} (f_{n+1} - f_n)$ converge uniformément sur $A$ , et que, dans ce cas, sa somme est $f - f_0$ , où $f$ est la limite de $(f_n)$ .

Indications

Indication 1

La somme partielle de rang $n - 1$ de la série vaut $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (f_{k+1} - f_k) = f_n - f_0$ .

Indication 2

Le reste de la série est alors $(f - f_0) - (f_n - f_0) = f - f_n$ .

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