Lemme de Riemann-Lebesgue pour une fonction continue par morceaux sur un segment

L2 L3 MP MPI PSIdifficulté 3/5Analyse · Calcul intégralpar XiMaths▲ Exercice utile · 0

Énoncé

Soit $f : [a, b] \to \C$ continue par morceaux. Montrer que

\int_a^b f(t)\, e^{i\lambda t}\,\mathrm{d}t \xrightarrow[\lambda \to +\infty]{} 0.

Indications

Indication 1

Traiter d'abord le cas d'une fonction en escalier, par un calcul explicite sur chaque palier : $\left|\displaystyle\int_\alpha^\beta e^{i\lambda t}\,\mathrm{d}t\right| \leq \dfrac{2}{\lambda}$ .

Indication 2

Une fonction continue par morceaux est limite uniforme de fonctions en escalier : conclure avec une approximation à $\varepsilon$ près.

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